Матрица оператора в новом базисе

Понятие линейного оператора Пусть R и S - линейные пространства, имеющие размерности n и m, соответственно. Оператор A, действующий из R в S - это отображение вида , присваивающее каждому элементу x из R некоторый элемент y из S.

Определение 1. Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, действующий из R в R, называется линейным преобразованием пространства R. Пусть даны два векторных пространства, n-мерное R и m-мерное S, и пусть эти пространства имеют базисы и соответственно.

Отражение 1 определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, мы можем написать: Покажем теперь обратное, то есть для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольные базисы и в R и S соответственно, существует матрица A с элементами из числового поля K такая, что линейное отображение 1, определяемое этой матрицей, выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Тогда 3 - матрица с элементами из числового поля K, что линейное отображение 1 выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Тогда 3 - это разложение x в базис. Построим матрицу A с элементами aij: 8 Тогда выражение 6 можно записать в матричной форме: Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и.


Навигация

thoughts on “Матрица оператора в новом базисе ”

Leave a Comment