Матрица вращения в двумерном пространстве

Ситуация, однако, несколько сложнее, чем мы до сих пор указывали. Несмотря на малый размер, мы имеем значительную свободу в последовательности используемых пар осей; и мы также имеем некоторую свободу в выборе углов.

Так что при параметризации трехмерного вращения для физики, медицины, химии и других дисциплин мы встречаем множество различных соглашений. Когда мы включаем опцию мировых осей или осей тела, возможны 24 различные последовательности.

В то время как некоторые дисциплины называют любую последовательность углами Эйлера, другие дают различные названия последовательностям Кардано, Тейт-Брайана, ролл-тангенс. Одна из причин большого числа вариантов заключается в том, что, как отмечалось ранее, вращения в трех измерениях и выше не изменяются. Если мы обратим заданную последовательность вращений, то получим другой результат. Это также означает, что мы не можем составить два вращения путем сложения их соответствующих углов. Таким образом, углы Эйлера не являются векторами, несмотря на внешнее сходство в виде тройки чисел.

Фактически, мы можем рассматривать последовательное угловое разложение, рассмотренное ранее, как обратный процесс.

Композиция n - 1 вращений Гивенса приводит первый столбец и строку к 1 , 0,..., 0, так что оставшаяся часть матрицы является матрицей вращения размерностью на один меньше, встроенной так, чтобы оставить 1 , 0,..., 0 фиксированными. Фактически, за исключением отмеченных исключений, таким образом можно создать любую матрицу вращения.

В современных компьютерах это может не иметь значения, но это может быть актуально для очень старых или недорогих микропроцессоров. Примеров много в классической механике и квантовой механике. Знание части решений этой симметрии применимо, с определенными оговорками, ко всем подобным задачам, и это можно исключить из конкретной задачи, тем самым уменьшив ее сложность.

Наиболее ярким примером - в математике и физике - может служить теория сферических гармоник. Их роль в теории групп вращения заключается в том, что они являются пространством представления для всего множества конечно-размерных несводимых представлений группы вращения SO 3.

Для получения дополнительной информации по этой теме см. Для получения дополнительной информации см. основные статьи по этой теме. Основные статьи перечислены в каждом подразделе. Таким образом, SO n является группой Ли для каждого n. Она компактна и связна, но не односвязна.

Она также является полугруппой Ли для каждого n.

Это также полупростая группа, фактически простая группа, за исключением SO 4. Актуальность этого состоит в том, что все теоремы и весь аппарат из теории аналитических многообразий применимы к аналитическим многообразиям, в частности, к гладким многообразиям, и хорошо развитая теория представлений компактных полупростых групп готова к использованию.

Таким образом, u по-прежнему инвариантна относительно exp A и, следовательно, является осью вращения. Полную информацию см. Как групповое тождество, сказанное выше справедливо для всех точных представлений, включая дублетное спинорное представление , которое является более простым. Таким образом, та же явная формула следует непосредственно через матрицы Паули; см. Часто накрывающая группа, которая в этом случае называется спиновой группой и обозначается Spin n , является более простой и естественной для работы.

В случае плоских вращений вышесказанное справедливо и для спинорной группы.

В случае плоских вращений SO 2 топологически является кругом, S. Его универсальная накрывающая группа Spin 2 изоморфна вещественной прямой, R, кроме того. Когда используются углы произвольной величины, используется удобство универсального покрытия.

Так, фундаментальная группа группы SO 2 изоморфна целым числам, Z. В случае пространственных вращений SO 3 топологически эквивалентна трехмерному вещественному проективному пространству , RP. Его универсальная накрывающая группа Spin 3 изоморфна 3-сфере S. Соответственно, фундаментальная группа группы SO 3 изоморфна двухэлементной группе Z2.

Многие особенности этого случая s аналогичны таковым для более высоких измерений. Естественная среда для этих групп - алгебра Клиффорда. Один из типов вращений - это своего рода "сэндвич", обозначаемый qvq. Что более важно для приложений физики, соответствующее спиновое представление алгебры Ли находится внутри алгебры Клиффорда.

Ее можно возвести в степень обычным способом, чтобы получить двузначное представление, также известное как проективное представление спиновой группы. Так обстоит дело с SO 3 и SU 2 , где двузначное представление можно рассматривать как "обратную" накрывающую карту. По свойствам накрывающих карт, инверсия может быть однозначно выбрана как локальное сечение, но не глобально.

Бесконечные вращения Матрицы в алгебре Ли сами по себе не являются вращениями; косимметричные матрицы являются производными, пропорциональными разности вращений. При таких правилах эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном рассмотрении бесконечно малых. Оказывается, что порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения.

Чтобы увидеть это на примере, рассмотрим бесконечно малые вращения SO 3. Преобразования Мы видели существование нескольких разложений, применимых к любому измерению, а именно: независимые плоскости, последовательные углы и вложенные измерения. Во всех этих случаях мы можем либо разложить матрицу, либо построить ее.

Преобразование Кейли, рассмотренное ранее, получается путем масштабирования кватерниона так, что его компонент w равен 1. Таким образом, мы можем легко сравнить величины всех четырех кватернионов. В данном случае предположим, что Q xx является наибольшей диагональной записью, поэтому x будет иметь наибольшее значение другие случаи получаются циклической перестановкой ; тогда безопасно следующее

Если Q действительно является матрицей вращения, то это значение будет равно 1. Полученный таким образом кватернион будет соответствовать матрице вращения, наиболее близкой к данной матрице Бар-Ицхака В терминах численной линейной алгебры мы преобразуем M в ортогональную матрицу Q с помощью QR-разложения. Однако часто мы предпочитаем Q, наиболее близкую к M, чего этот метод не позволяет. Для измерения близости мы можем использовать любую норму матрицы, инвариантную относительно ортогональных преобразований.

Удобным выбором является норма Фробениуса, Q - M F квадрат, которая представляет собой сумму квадратов разностей элементов. Хотя целевая функция записана в матричных терминах, она является просто квадратичным многочленом. Мы можем минимизировать его обычным способом, найдя, где его производная равна нулю.

Для включения ограничения I мы можем использовать стандартную технику, множители Лагранжа, собранные в виде симметричной матрицы Y. Чтобы обеспечить минимум, матрица Y и, следовательно, S должны быть положительно определенными. Однако определитель S положителен, так как S положительно определена, поэтому Q наследует знак определителя M.

То есть, Q гарантированно ортогональна, а не является матрицей вращения. Это неизбежно; M с отрицательным определителем не имеет однозначно определенной ближайшей матрицы вращения. Кроме того, выделение оси-угла представляет дополнительные трудности. Когда угол равен нулю, ось не определена. Полностью надежный подход использовал бы другой алгоритм, когда t, след матрицы Q, отрицателен, как при извлечении кватернионов.

Углы Эйлера Сложность преобразования возрастает с увеличением углов Эйлера, используемых здесь в широком смысле. Первая трудность заключается в том, чтобы определить, какой из двадцати четырех вариантов декартова порядка осей мы будем использовать. Среди всех перестановок x, y, z только две ставят эту ось на первое место; одна из них - четная, а другая - нечетная. Таким образом, выбор четности определяет среднюю ось. Это оставляет два варианта для крайней левой оси: либо дублировать первую, либо нет.

Этого достаточно, чтобы построить матрицу по углам, но тройки, отличающиеся по многим параметрам, могут дать одну и ту же матрицу вращения.


Навигация

thoughts on “Матрица вращения в двумерном пространстве ”

  1. Я извиняюсь, но, по-моему, Вы допускаете ошибку. Давайте обсудим это. Пишите мне в PM.

    Ответить
  2. Прошу прощения, что вмешался... Мне знакома эта ситуация. Давайте обсудим. Пишите здесь или в PM.

    Ответить

Leave a Comment